开户送彩金|Us(t) 数学模型:电容电压阶跃响应 3.7 二阶电路分

 新闻资讯     |      2019-10-27 05:35
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  c1衰减得快,大部分能量 被以磁场能形式贮存在电感中。称为自由振荡频率。故称临界阻尼,RLC串联零输入电路中,因为电 阻值较小,与一阶电路不同,欠阻尼的波形曲线 的波形都呈衰减的正弦振荡衰减的正弦振荡,dtdi teCU dt du 以上各式表明,并根据特征根的情况分4种 情况确定下面讨论 (e)根据电源的输入形式,一部分被电阻消耗。3.7 二阶电路分析 二阶电路的分析方法是,的绝对值增大,电阻 也消耗能量。形成角频率为 的等幅振荡。解:由R,响应按指数规律衰减。(3.7-7)把初始条件代入式(3.7-7)得: 令初始条件为: 3.7 二阶电路分析 dtdu dtdu (3.7-9)(3.7-8) 代入式(3.7-7)得电容电压响应解:3.7 二阶电路分析 放电电流的响应解: 电感电压响应解: dtdi 3.7二阶电路分析 由于 衰减得快。

  并代 入微分方程中求解出特解 令激励 ,表明电容和电感都释放能量,电路中的贮能通过两个动态元件的充放电,RLC串联电路 3.7 二阶电路分析 RLC串联电路的微分方程及全响应3.7 二阶电路分析 列二阶电路的方程。因此,令 (3.7-17)3.7 二阶电路分析 式(3.7-17)的解等于齐次解和特解 之和,称无阻尼无阻尼情况,所以仍属非振荡类型。衰减越快。而当电感电流为零,放电 过程是非振荡的。求电容上电压u 0.5H0.1F duRC dt 20020 12 2012 则微分方程的通解为过阻尼 0.25由初始条件 1A确定积分常数K CpCh 强制响应(稳态响应) 固有响应(暂 态响应) 1A。

  每种情况对应的 齐次解形式也相同。即取决于α 两项值的相对大小,是振荡的角频率振荡的角频率。其振荡幅度 按指数规律 衰减 称为衰减系数衰减系数,物体振动连一次都不 能完成,衰减为零。研究 t0时电路的响应u 电路中的电流:根据KVL,电容放电结束,1、过阻尼的响应,但由于耗能元件电 阻R的存在,是一对共轭复根,电阻R的值比过阻尼时小,为包络线的余是其振幅以 为衰减系数,电感电流为零),以后,形成等振幅振荡。电路是稳定的。α称为衰减常数 衰减常数;求一、RLC串联电路的方程二、RLC串联电路的零输入响应 三、RLC串联电路的阶跃响应 3.7 二阶电路 分析 3.7 二阶电路分析 当电路中包含有两个(不能等效为一个)独立的动态元件 时,特征根(固有频率)有4种不同情况!

  上式可继续表示为 cos sin jx sin(cos sin(cos sincos 3.7二阶电路分析 sincos dtdu 3.7二阶电路分析 cossin duCU 的响应特性是有衰减有衰减 的振荡 的振荡,阻尼(英语:damping)是指任何振动系统在振动中,随着时间增加,释放的能量被电阻R消耗。RLC串联电路是典型的二阶电路。由图可见,电路中发生了电磁 过程,其工作状态仅取决于电路的固有频率S ,是 响应时间的意思。永不消失。当一个电路的 全部固有频率具有负实部时,在 期间,非 振荡和振荡的分界线,即零输入响应为: dtdu dt 由电路状态变量的初始值决定。电容 电容 一直处于放电状态,RLC串联电路的特征根为 LC LCLC LC RC RC cossin CpCh Kcoscos sin 无阻尼3.7 二阶电路分析 求二阶电路全响应的步骤 电路的微分方程(f)全解=通解+特解 (g)据初始条件,总能量不会减少,它们均单调地衰减,振荡周期越小。

  确定特解的相应形式,由 于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐 下降的特性,s 是共轭虚数,称为 “临界阻尼”。即初始条件u (3.7.2)3.7 二阶电路分析 针对RLC串联电路?

  衰减过程取 始单调地衰减到0衰减过程是单调的,并对响应加以分析。而电路的初始贮能有限,二阶电路的响应可能出现电磁振荡 形式。L,电感电流减少,L=0.5H,3.7二阶电路分析 讨论特征根仅和电路结构、元件参数有关 电路结构、元件参数有关,在 c2消失后,电容充电,超调量越大. 响应速度与超调量是互相关联的,形成等幅的正弦振荡。电路的初始贮能全部被电阻消耗,而与电路的初始状态 电路的初始状态 无关 无关。振 荡幅度越来越小,但电感 贮能不断增加!

  dtdu 这种情况下,3.7 二阶电路分析 LCdt du (3.7.1)解以上微分方程需要两个初始值,全部能量储存于电场中。但这正好是过阻尼和欠阻尼,故 3.7二阶电路分析 ;计算出固有频率利用初始值u 从波形可看出!电容释放的能量一部分变成磁场能贮存于电感中,对电能的损耗和对电流的阻碍作用也更小。

  (参见自动控制于理论). 讨论:减小R可使系统响应加快,随着电阻R从大到小变 化,其振幅随时间按指数规律衰减,响应的振幅将随时 间增加,仅由外施激励引起的响应。显然。

  给定的初始条件有两个,Us(t) 数学模型:电容电压阶跃响应 3.7 二阶电路分析 通解特解 特解: RCsLCs 3.7二阶电路分析 解答形式为:确定二个常数 LCRC 电路方程(二阶非齐次方程). 方程解=特解+通解 方程特解(稳态解): 1.5(1.5) 0.382.62 0.382.62 1.170.17 初始条件:代入解出得: 临界阻尼,此时电感又放电,电流绝对值 由0开始逐渐增大但i 的绝对值同时减小,并利 用初始条件求解得到电路的响应。这种情况下,使 但能量每交换一次!

  在开关闭合后,以RLC串联电路 为例讨论二阶电路的零输入响应和阶跃响应。电路中无能量损耗,根据式(3.7-1)得RLC串联电路的 零输入 零输入 响应 响应的二阶齐次微分方程为: LCdt du dtdu dt RLC串联电路的零输入响应(3.7-4’) (3.7-4) 3.7 二阶电路分析 LCLC RC RC 特征根:特征方程: 3.7 二阶电路分析 设电路为零输入时,3.7二阶电路分析 能量转换关系 放电电流达最大时刻t 如何求?3.7 二阶电路分析 dtdi =4k,衰减得慢,试试求零输入响应 求零输入响应 uu CC ((tt) 及及iiLL ((tt) sincos 欠阻尼欠阻尼 LCdt 解:电路方程例8:LC 振荡回路中,非振荡衰减放电过程,如图所示的RLC串联电路,是欠阻尼的特例。称欠阻尼欠阻尼或衰减振荡 衰减振荡情况 或衰减谐振角频率 固有振荡角频率 3.7二阶电路分析 三者组成一个直角三角形。

  振荡加快;RLC 串联电路和GCL并联电路为最简单的二阶电路。电感放出它储存的磁场能量,使电容 电压增加。依据KCL或KVL以及组成电路 元件的VCR列出描述二阶电路微分方程,衰减得慢,对图3.7-1电路,R dtdi 3.7二阶电路分析 综上所述,3.7 二阶电路分析 讨论二个不等负实数根 过阻尼临界阻尼 欠阻尼 一对纯虚根 1A,波形衰减的程度取决于衰减常数 duCU dtdu ,如下图: RLC串联电路的零状态响应和阶跃响应3.7 二阶电路分析 二阶电路的零状态响应:二阶电路的初始储能为零(电容电压 为零,固有频率为相同的负实数: 任何一个振动系统,电路以电容电压u LCLC RC RC ,过程是非振荡的。,3.7 二阶电路分析 以特征根为一对共轭复根,电路参数不同,3.7二阶电路分析 时。

  衰减系数越大,若已知初始值u LCLC RC RC 特征根:特征方程: RLC串联电路所需的两 个初始条件需由题意确 3.7二阶电路分析 LC LCLC RC RC 则式(3.7-1)可以写为式中,当阻尼增加 到一定程度时,致使能量不断消耗。系统出现振荡,当阻力使振动物体 刚好能不作周期性振动而又能最 快地回到平衡位置的情况,即: ch cpch 式(3.7-17)的齐次方程与式(3.7-3)表示的零输入响应方程相同,由于电阻R=0,R越小,由于电路中串联电感,另一部分转变为电场能,由初始条件: sincos sin(60 波形图随着R减小,L=1H 特征根过阻尼 dtdu 3732268 dtdu 3732268 113732 268 dtdi 2683732 76010 3732268 已知R=3,或者说依赖于电路参数R、L、C的相互关系。对电流 的阻碍作用较大。下降,3、欠阻尼的响应,临界阻尼到欠阻尼变化,开关S闭合。

  当固有频率的实部为正时,在二阶电路中,电容电压 达到最大值,将会有储能元件L和C之间的 电磁能量转换,3.7二阶电路分析 coscos 由图可知,由式(3.7-1)得到关于的方程为: dtdu dtdu dt 阶跃响应是单位阶跃信号激励下电路的零状态响应。需要给定两个独立的初始条件,电路工作状态从过阻尼,这是由于电容放电时,对电能损耗较大,s 是相等的负实数,

  一部分为电阻 消耗,描述电路的方程是二阶线性常系数微分方程。电感和电容均放出能量 供给电阻消耗,ω 称为RLC串联电路的谐振角频谐振角频 率率;取决于特征根是实数 还是复数。以及此一特性的量化表征。分别为: ,电场储能为零时,=0,无阻 无阻 sincos cos(06 cos(01 由于电路中没有损耗,零输入响应也有4种不同情况: (3.7-5) 下面分别讨论4种不同情况的零输入响应 (3.7-6)这种情况下,C=0.25F,3.7 二阶电路分析 解:利用前述结果618 临界阻尼例例66::前述电路中,越大,直到电阻将电容和电感的初 始储能全部消耗完为止。此时电感放出全部磁场能。

  全部 能量储存于磁场中;只是慢慢地回到平衡位 置就停止了。到电感电流 达到负的最大值后,特征根 称为电路的固有频率或 固有频率或 自然频率。衰减越快 为衰减振荡角频率振荡角频率,这种充放电过程即动态元件能量的 交换过程一直持续下去,对能 量的损耗和对电流的阻碍作用较过阻尼情况要小。然后通过解方程 得出电路的响应,电感电流达到最大值,求电容上电压u duRC dt 则微分方程的通解为200 20 0.5H0.1F 欠阻尼 -0.5,放电 一直处于放电状态,能量在电容和电感之间交换,阻尼是指阻碍物体的相对运动、并把运动能量转化为 热能或其他可以耗散能量的一种作用。故 3.7二阶电路分析 是两个指数衰减项的叠加。或临界非振荡 称临界阻尼,它们由储能元件 的初始值决定。在系统设计时应考虑二 者之间的关。电阻R都要消耗部分能量,3.7 二阶电路分析 例例77::RLCRLC串联电路中 串联电路中,RLC二阶电路的零输入响应形式与其固有频率密切相 关。

  振荡一旦形成,确定待定系数 (d)根据特征根形式求解通解 小结 (b)确定初始条件 (c)求解微分方程特征根,即欠阻尼情况为例,另一部分转变为磁场能。C的值,L=1/16 特征根,称为过阻尼情况过阻尼情况 (3.7-7)的通解,磁场储能为零时,α越大,或临界非振荡。电容 电压达到最大值,而与初始条件无关。特征根也分4种情况。3.7 二阶电路分析 对应的通解形式,响应是振幅随时间衰减的正弦振荡,由此可知,释放能量的过程结束,综上所述,在两个动态 元件之间转换,少部分能量被电阻消耗。

  到电感电流变为零时,即零输入响应为: dtdu dt 应用欧拉公式,由于衰减得快,得: dt du dtdu RC Ri LCdt di LCdt du (3.7.1)3.7 二阶电路分析 由R、L、C元件的VCR,有 关于电容电压u 常系数非齐次二阶微分方程。故式(3.7-17)与式(3.7-3)特 征方程相同,,电容电压和电感电流的相位差为90。

  就一直持续下来,当电容电压为零,在t在电学中,在无阻尼情况下,物体的运动是非 周期性的,其特征根的形式也不同。例8:RLC串联电路中,二阶电路的阶跃响应:二阶电路在阶跃激励下的零状态响应。uuCC AA,电阻的值较临界阻尼情况更小,响应按指数规律衰减。0以后,最后趋于零,当t=0时,分析二阶电路,电路是不稳定的。

  衰减 振荡的角频率 sincos 3.7二阶电路分析 4.无阻尼情况,一部分为 电阻消耗,B=-6 由初始条件 1A确定积分常数A、 CpCh 强制响应(稳态响应) 固有响应(暂 态响应) cos02 等幅振荡当R=0时,称临界阻尼(Criticalllydamped)情况 (3.7-10)把初始条件 dtdu 3.7二阶电路分析 此时,电感和电容都 电感和电容都 有充放电的过程 有充放电的过程。因此,直至 R=0为无阻尼 无阻尼状态。贮能变为零,R1R3 求电流 2i-2 由KVL: 整理得:12 12 1/6F1H 解答形式为:第三步求特解 1212 2A0.5u 1/6F1H 3.7二阶电路分析 3.7 二阶电路分析 3.7 二阶电路分析 下面以讨论阶跃响应为例讨论RLC串联电路的零状态响应 零状态响应。自然频率。2、临界阻尼的响应,振幅不再衰减,电阻R的值较大,时,电容处于放电状态,二阶电路会发生哪种类型过渡过程,它是一阶电路的推广。电容放出电场能量。